WordPressで使用中のテーマのfunctions.php内に以下を追記する。

add_action( 'rest_api_init', 'register_category_name' );
function register_category_name() {
    register_rest_field( 'post',
        'category_name',
        array(
            'get_callback'    => 'get_category_name'
        )
    );
}

function get_category_name( $object ) {
  $category = get_the_category($object[ 'id' ]);
    for ($i = 0; $i < count($category); ++$i) {
        $cat_name[$i] = $category[$i]->cat_name;
    }
  return $cat_name;
}

postmanで投稿をGETすると、"category_name"に第一位のカテゴリー名が取得される。

http://xxxxxx.xxx/wp-json/wp/v2/posts/xxx